一、单项选择题

1. 已知集合 $ M = \{ -2, -1, 0, 1, 2 \} $ ， $ N = \{ x | x^2 - x - 6 \ge 0 \} $ ，则 $ M \cap N = ( \qquad ) $

   • A. $\{ -2, -1, 0, 1 \}$
   • B. $\{ 0, 1, 2 \}$
   • C. $\{ -2 \}$
   • D. $\{ 2 \}$

2. 已知 $ z =\cfrac { 1 - i } { 2 + 2 i } $ ，则 $ z - \overline{z} = ( \qquad ) $

   • A. $ -i $
   • B. $ i $
   • C. $ 0 $
   • D. $ 1 $

3. 已知向量 $ \vec{a} = ( 1, 1 ) $ ， $ \vec{b} = ( -1, 1 ) $ ，若 $ ( \vec{a} + \lambda \vec{b} ) \bot ( \vec{a} + \mu \vec{b} ) $ ，则 $(\qquad)$

   • A. $ \lambda + \mu = 1 $
   • B. $ \lambda + \mu = -1 $
   • C. $ \lambda \mu = 1 $
   • D. $ \lambda \mu = -1 $

4. 设函数 $ f ( x ) = 2 ^ { x ( x - a ) } $ 在区间 $( 0, 1 )$ 单调递减，则 $a$ 的取值范围是 $(\qquad)$

   • A. $ ( - \infty , -2 ] $
   • B. $ [ -2, 0 ) $
   • C. $ ( 0, 2 ] $
   • D. $ [ 2, + \infty ) $

5. 设椭圆 $ C_{1}: \cfrac { x ^ 2 } { a ^ 2 } + y ^ { 2 } = 1 \ ( a > 1 ) $ ， $ C_{2}: \cfrac { x ^ 2 } { 4 } + y ^ {2} = 1 $ 的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，若 $ e_{2} = \sqrt{3} e_{1} $ ，则 $ a = (\qquad) $

   • A. $ \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } $
   • B. $ \sqrt{2} $
   • C. $ \sqrt{3} $
   • D. $ \sqrt{6} $

6. 过点 $( 0, -2 )$ 与圆 $ x^{2} + y^{2} - 4x - 1 = 0 $ 相切的两条直线的夹角为 $\alpha$ ，则 $ \sin \alpha = (\qquad) $

   • A. $ 1 $
   • B. $ \frac{\sqrt{15}}{4} $
   • C. $ \frac{\sqrt{10}}{4} $
   • D. $ \frac{\sqrt{6}}{4} $

7. 记 $S_{n}$ 为数列 $ \left \{ a_{n} \right \} $ 的前项和，设甲： $ \left \{ a_{n} \right \} $ 为等差数列；乙： $ \left \{ \frac { S_{n} } { n } \right \} $ 为等差数列，则 $(\qquad)$

   • A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
   • B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
   • C. 甲是乙的充要条件
   • D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8. 已知 $ \sin ( \alpha - \beta ) = \frac{1}{3} $ ， $ \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{6} $ ，则 $ \cos ( 2 \alpha + 2 \beta ) = (\qquad) $

   • A. $ \frac{7}{9} $
   • B. $ \frac{1}{9} $
   • C. $ - \frac{1}{9} $
   • D. $ - \frac{7}{9} $

二、多项选择题

9. 有一组样本数据 $ x_1, x_2, \cdots, x_6 $ ，其中 $x_1$ 是最小值， $x_6$ 是最大值，则 $(\qquad)$
   • A. $ x_2, x_3, x_4, x_5 $ 的平均数等于 $ x_1, x_2, \cdots, x_6 $ 的平均数
   • B. $ x_2, x_3, x_4, x_5 $ 的中位数等于 $ x_1, x_2, \cdots, x_6 $ 的中位数
   • C. $ x_2, x_3, x_4, x_5 $ 的标准差不小于 $ x_1, x_2, \cdots, x_6 $ 的标准差
   • D. $ x_2, x_3, x_4, x_5 $ 的极差不大于 $ x_1, x_2, \cdots, x_6 $ 的极差
10. 噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 $ L_p = 20 \times \lg \cfrac{p}{p_0} $ ，其中常数 $ p_0 ( p_0 > 0) $ 是听觉下限阈值， $p$ 是实际声压. 下表为不同声压的声压级，已知距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 $ 10 \mathrm{m} $ 处测得实际声压分别为 $p_1$ ， $p_2$ ， $p_3$ ，则 $(\qquad)$
    • A. $ p_1 \ge p_2 $
    • B. $ p_2 > 10 p_3 $
    • C. $ p_3 = 100 p_0 $
    • D. $ p_1 \le 100 p_2 $

11. 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$ ， $f(xy) = y^2 f(x) + x^2 f(y) $ ，则 $(\qquad)$
    • A. $ f(0) = 0 $
    • B. $ f(1) = 0 $
    • C. $ f(x) $ 是偶函数
    • D. $ x = 0 $ 为 $f(x)$ 的极小值点

12.下列物体中，能够被整体放入棱长为 $ 1 \mathrm{m} $ 的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有 $(\qquad)$ - A. 直径为 $0.99 \mathrm{m}$ 的球体 - B. 所有棱长均为 $1.4 \mathrm{m}$ 的四面体 - C. 底面直径为 $0.01 \mathrm{m}$ ，高为 $1.8 \mathrm{m}$ 的圆柱体 - D. 底面直径为 $1.2 \mathrm{m}$ ，高为 $0.01 \mathrm{m}$ 的圆柱体

三、填空题

13. 某学校开设了 $4$ 门体育类选修课和 $4$ 门艺术类选修课，学生需从这 $8$ 门课中选修 $2$ 门或 $3$ 门课，并且每类选修课至少选修 $1$ 门，则不同的选课方案共有______种(用数字作答).
14. 在正四棱台 $ A B C D - A_1 B_1 C_1 D_1 $ 中， $ A B = 2 $ ， $ A_1 B_1 = 1 $ ， $ A A_1 = \sqrt{2} $ ，则该棱台的体积为______.
15. 已知函数 $f(x) = \cos \omega x - 1 ( \omega > 0 ) $ 在区间 $[ 0, 2 \pi ]$ 有且仅有三个零点，则 $\omega$ 的取值范围是______.
16. 已知双曲线 $ C: \cfrac{x^2}{a^2} - \cfrac{y^2}{b^2} = 1 ( a > 0 , b > 0 ) $ 的左右焦点分别为 $F_1$ ， $F_2$ . 点 $A$ 在 $C$ 上，点 $B$ 在 $y$ 轴上， $ \overrightarrow{F_1 A} \bot \overrightarrow{F_1 B} $ ， $ \overrightarrow{F_2 A} = - \frac{2}{3} \overrightarrow{F_2 B} $ ，则 $C$ 的离心率为______.

四、解答题

17. (10 分)

已知在 $ \triangle A B C $ 中，$ A + B = 3 C $ ， $ 2 \sin \left( A - C \right) = \sin B $.

1. 求 $ \sin A $ ；
2. 若 $ A B = 5 $ ， 求 $ A B $ 边上的高.

18. (12 分)

如图，在正四棱柱 $ A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } $ 中，点 $ A _ { 2 } $ ， $ B _ { 2 } $ ， $ C _ { 2 } $ ， $ D _ { 2 } $ 分别在棱 $ A A _ { 1 } $ ， $ B B _ { 1 } $ ， $ C C _ { 1 } $ ， $ D D _ { 1 } $ 上， $ A A _ { 2 } = 1 $ ， $ B B _ { 2 } = D D _ { 2 } = 2 $ ， $ C C _ { 2 } = 3 $ .

1. 证明： $ B _ { 2 } C _ { 2 } // A _ { 2 } D _ { 2 } $ ；
2. 点 $ P $ 在棱 $ B B _ { 1 } $ 上，当二面角 $ P - A _ { 2 } C _ { 2 } - D _ { 2 } $ 为 $ 150 ^ { \circ } $ 时，求 $ B _ { 2 } P $ .

19. (12 分)

已知函数 $ f ( x ) = a ( e ^ { x } + a ) - x $

1. 讨论 $ f ( x ) $ 的单调性；
2. 证明：当 $ a > 0 $ 时， $ f ( x ) > 2 \ln a + \frac { 3 } { 2 } $ .

20. (12 分)

设等差数列 $ \left \{ a _ { n } \right \} $ 的公差为 $ d $ ，且 $ d > 1 $ ，令 $ b _ { n } = \frac { n ^ { 2 } + n } { a _ { n } } $ ，记 $ S _ { n } $ ， $ T _ { n } $ 分别为数列 $ \left \{ a _ { n } \right \} $ ， $ \left \{ b _ { n } \right \} $ 的前 $ n $ 项和.

1. 若 $ 3 a _ { 2 } = 3 a _ { 1 } + a _ { 3 } $ ， $ S _ { 3 } + T _ { 3 } = 21 $ ，求 $ \left \{ a _ { n } \right \} $ 的通项公式；
2. 若 $ \left \{ b _ { n } \right \} $ 为等差数列，且 $ S _ { 99 } - T _ { 99 } = 99 $ ，求 $ d $ .

21. (12 分)

甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 $0.6$ ，乙每次投篮的命中率均为 $0.8$ ，由抽签确定第 $1$ 次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为 $0.5$ .

1. 求第 $2$ 次投篮的人是乙的概率：
2. 求第 $i$ 次投篮的人是甲的概率.
3. 已知：若随机变量 $X_i$ 服从两点分布，且 $ P \left( X_i = 1 \right) = 1 - P \left( X_i = 0 \right) = q_i, i = 1, 2, \cdots, n $ ，则 $ E \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} q_i $ ，记前 $n$ 次(即从第 $1$ 次到第 $n$ 次)中甲投篮的次数为 $Y$ ，求 $E \left( Y \right)$ .

22. (12 分)

在直角坐标系 $ x O y $ 中，点 $ P $ 到 $ x $ 轴的距离等于点 $ P $ 到点 $ \left ( 0 , \frac {1} {2} \right ) $ 的距离，记动点 $ P $ 的轨迹为 $ W $ .

1. 求 $ W $ 的方程；
2. 已知矩形 $ A B C D $ 有三个顶点在 $ W $ 上，证明：矩形 $ A B C D $ 的周长大于 $ 3 \sqrt { 3 } $ .