原题
- 甲、乙两人各有四张卡片, 每张卡片标有一个数字, 甲的卡片上分别标有数字 1, 3, 5, 7, 乙的卡片上分别标有数字 2, 4, 6, 8. 两人进行四轮比赛, 每轮比赛中两人各自从自己的卡片中随机选择一张, 并进行比较, 数字大者得1分, 数字小者不得分, 然后扔掉此轮所选卡片, 则四轮比赛结束后, 甲的得分小于 2 概率为 ______
解析
我们可以用映射的思想来求解.
下面是甲乙两人卡片的映射关系：
$$ \begin{matrix} 甲 & 乙 \\ 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{matrix} $$具体的映射并没有用线画出, 但是我们知道甲乙得分有一定的关系:
- 甲得0分 等价于 乙得4分
- 甲得1分 等价于 乙得3分
- 甲得2分 等价于 乙得2分
- 甲得3分 等价于 乙得1分
并且甲不能得4分, 因为甲有一张 1, 是必输的, 那我们试着把这张1改成9再看看:
$$ \begin{matrix} 甲' & 乙 \\ 9 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{matrix} $$这下甲$'$就因为这张牌就会比原来的甲多一分, 乙就少一分, 也就是说:
- 甲$'$得1分 等价于 乙得3分
- 甲$'$得2分 等价于 乙得2分
- 甲$'$得3分 等价于 乙得1分
- 甲$'$得4分 等价于 乙得0分
而我们的比赛只是比大小, 所以结果和具体的数字无关, 我们就可以让每张牌都减1, 并且再调序, 变成:
$$ \begin{matrix} 甲'' & 乙' \\ 2 & 1 \\ 4 & 3 \\ 6 & 5 \\ 8 & 7 \\ \end{matrix} $$这个时候你发现了啥? 甲$''$不就是乙吗? 乙$'$不就是甲吗? 我们把前面的关系串起来, 就知道甲得1分就是甲$''$得2分, 就是乙得2分, 再回到原来的甲, 就是甲得2分. 我们就证明了 $P(甲得1分) = P(甲得2分)$
不难注意到, 甲得0分和甲得3分的情况都只有一种, 即 $P(甲得0分) = P(甲得3分)$
那题目要求的 $P(甲得分小于2) = P(甲得0分) + P(甲得1分) = \frac{1}{2}[P(甲得0分) + P(甲得1分) + P(甲得2分) + P(甲得3分)] = \frac{1}{2}$
所以答案为:
$$\boxed{\frac{1}{2}}$$